Энциклопедия интересного и полезного: аудио, видео курсы, уроки, обучающие программы, полезные советы, головоломки, ребусы, фокусы

РЕШЕНИЯ ГОЛОВОЛОМОК 1—12

1. Головоломка с белкой на поляне рассмотрена была полностью раньше. Переходим к следующей.

2. Нельзя считать, как многие делают, что 8 копеек уплачено за 8 полен, по 1 копейке за полено. Деньги эти

уплачены только за третью часть от 8 полен, потому что огнем пользовались трое в одинаковой мере. Отсюда следует, что все 8 полен оценены были в 8x3, т. е. в 24 к., и цена одного полена — 3 ко­пейки.

Теперь легко сообразить, сколько причитается каж­дому. Пятеркиной за ее 5 полен следует 15 копеек; но она сама воспользовалась плитой на 8 копеек; значит, ей остается дополучить еще 15—8, т. е. 7 копеек. Тройкина за три свои полена должна получить 9 копеек, а если вычесть 8 копеек, причитающихся с нее за пользование плитой, то следовать ей будет всего только 9—8, т. е. 1 копейка.

Итак, при правильном дележе Пятеркина должна по­лучить 7 копеек, Тройкина — 1 копейку.

3. На первый вопрос — через сколько дней в школе соберутся одновременно все 5 кружков — мы легко отве­тим, если сумеем разыскать наименьшее из всех чисел, которое делится без остатка на 2, на 3, на 4, на 5 и на 6. Нетрудно сообразить, что число это 60. Значит, на 61-й день соберется снова 5 кружков: слесарный — через 30 двухдневных промежутков, столярный — через 20 трех­дневных, фотокружок — через 15 четырехдневных, шах­матный — через 12 пятидневок и хоровой — через 10 ше­стидневок. Раньше чем через 60 дней такого вечера не будет. Следующий подобный же вечер будет еще через 60 дней, т. е. уже во втором квартале.

Итак, в течение первого квартала окажется только один вечер, когда в клубе снова соберутся для занятий все 5 кружков.

Хлопотливее найти ответ на второй вопрос задачи: сколько будет вечеров, свободных от кружковых занятий? Чтобы разыскать такие дни, надо выписать по порядку все числа от 1 до 90 и зачеркнуть в этом ряду дни работы слесарного кружка, т. е. числа 1, 3, 5, 7, 9 и т. д. Потом зачеркнуть дни работы столярного кружка: 4-й, 7-й, 10-й, и т. д. После того как зачеркнем затем дни занятий фо­токружка, шахматного и хорового, у нас останутся незачеркнутыми те дни первого квартала, когда ни один кружок не работал.

Кто проделает эту работу, тот убедится, что вечеров, свободных от занятий, в течение первого квартала будет довольно много: 24. В январе их 8, а именно: 2-го, 8-го,

12-го, 14-го, 18-го, 20-го, 24-го и 30-го. В феврале насчи­тывается 7 таких дней, в марте — 9.

4. Оба насчитали одинаковое число прохожих. Хотя
тот, кто стоял у ворот, считал проходивших в обе сто-
роны, зато тот, кто ходил, видел вдвое больше встречных
людей.

Можно рассуждать и иначе. Когда тот из считавших, который прохаживался по тротуару, первый раз возвра­тился к своему стоявшему товарищу, они насчитали одинаковое число прохожих — всякий, прошедший мимо стоявшего, попался (на том или на обратном пути) и проха­живавшемуся (и наоборот). И каждый раз, возвращаясь к своему стоявшему товарищу, гулявший насчитывал такое же число прохожих. То же было и в конце часа, когда они последний раз встретились и сообщили друг другу результаты подсчетов.

5. С первого взгляда может действительно показаться,
что задача неправильно составлена: выходит как будто,
что внук и дед одного возраста. Однако, требование за-
дачи, как сейчас увидим, легко удовлетворяется.

Внук, очевидно, родился в XX столетии. Первые две цифры года его рождения, следовательно, 19: таково число сотен. Число, выражаемое остальными цифрами, будучи сложено с самим собою, должно составить 32. Значит, это число 16: год рождения внука 1916, и ему в 1932 г. было 16 лет.

Дед его родился, конечно, в XIX столетии; первые две цифры года его рождения 18. Удвоенное число, вы­ражаемое остальными цифрами, должно составить 132. Значит, само это число равно половине 132, т. е. 66. Дед родился в 1866 г. и ему в 1932 году было 66 лет.

Таким образом, и внуку и деду в 1932 г. было столько лет, сколько выражают последние две цифры годов их рождения.

6. На каждой из 25 станций пассажиры могут требо-
вать билет до любой станции, т. е. на 24 пункта. Значит,
разных билетов надо напечатать 25 x 24=600 образцов.

Если же пассажиры могут приобретать не только пря­мые билеты («туда»), но, при желании, и обратные («туда-обратно»), то число образцов билетов возрастет еще вдвое, т. е. их потребуется 1200.

7. Задача эта никакого противоречия не содержит. Не
следует думать, что вертолет летел по контуру квадрата:

Рис. 3.

надо принять в расчет шарообразную форму Земли. Дело в том, что меридианы к северу сближаются (рис. 3); по­этому, пройдя 500 км по параллельному кру­гу, расположенному на 500 км севернее широты Ленинграда, вертолет отошел к востоку на большее число градусов, чем про­летел потом в обратном направлении, очутив­шись снова на широте Ленинграда. В резуль­тате вертолет, закончив

полет, оказался восточнее Ленинграда.

На сколько именно? Это можно рассчитать. На рис. 3 вы видите маршрут вертолета: ABCDE. Точка N — се­верный полюс; в этой точке сходятся меридианы АВ и DC. Вертолет пролетел сначала 500 км на север, т. е. по меридиану AN. Так как длина градуса меридиана 111 км, то дуга меридиана в 500 км содержит 500 : 111~ ~4°,5. Ленинград лежит на 60-й параллели; значит, точка В находится на широте 60о+4°,5=64о,5. Затем вертолет летел к востоку, т. е. по параллели ВС, и про­шел по ней 500 км. Длину одного градуса на этой парал­лели можно вычислить (или узнать из таблиц); она рав­на примерно 48 км. Отсюда легко определить, сколько градусов пролетел вертолет на восток: 500:48~10°,4. Далее вертолет летел в южном направлении, т. е. по ме­ридиану CD и, пройдя 500 км, должен был очутиться снова на параллели Ленинграда. Теперь путь лежит на запад, т. е. по AD; 500 км этого пути явно короче рас­стояния AD. В расстоянии AD заключается столько же градусов, сколько и в ВС, т. е. 10°,4. Но длина 1° на ши­рине 60° примерно равна 55,5 км. Следовательно, между А и D расстояние равно 55,5х10,4~577 км. Мы видим, что вертолет не мог спуститься в Ленинграде; он не до­летел до него 77 км, т. е. оказался над Ладожским озером и мог опуститься только на воду.

Рис. 4.

8. Беседовавшие об этой задаче допустили ряд оши­бок. Неверно, что лучи солнца, падающие на земной шар, заметно расходятся. Земля так мала по сравнению с рас­стоянием ее от солнца, что солнечные лучи, падающие на какую-либо часть ее поверхности, расходятся на неуло­вимо малый угол: практически лучи эти можно считать параллельными. То, что мы видим иногда (при так назы­ваемом «иззаоблачном сиянии») лучи солнца, расходя­щиеся веером,— не более, как следствие перспективы.

В перспективе параллельные линии представляются сходящимися; вспомните вид уходящих вдаль рельсов или вид длинной аллеи.

Однако, из того, что лучи солнца падают на землю параллельным пучком, вовсе не следует, что полная тень вертолета равна по ширине самому вертолету. Взглянув на рис. 4, вы поймете, что полная тень вертолета в про­странстве суживается по направлению к земле, и что, следовательно, тень, отбрасываемая им на земную поверх­ность, должна быть уже самого вертолета: CD меньше чем А В.

Если знать высоту вертолета, то можно вычислить и то, как велика эта разница. Пусть вертолет летит на высоте 100 м над земной поверхностью. Угол, составляе­мый прямыми АС и BD между собою, равен тому углу,

под которым усматривается солнце с земли; угол этот известен: около 1/2°. С другой стороны, известно, что вся­кий предмет, видимый под углом в 1/2°, удален от глаза на 115 своих поперечников. Значит, отрезок MN (этот отрезок усматривается с земной поверхности под углом в 1/2°) должен составлять 115-ю долю от АС. Величина АС больше отвесного расстояния от А до земной поверх­ности. Если угол между направлением солнечных лучей и земной поверхностью равен 45°, то АС (при высоте вертолета 100 м) составляет около 140 м, и, следовательно,

отрезок MN равен 140/115~1,2 м.

Но избыток ширины вертолета над шириною тени, т. е. отрезок MB, больше MN, а именно больше в 1,4 раза, потому что угол MBD почти точно равен 45°. Следова­тельно, MB равно 1,2x1,4; это дает почти 1,7 м.

Все сказанное относится к полной тени вертоле­та — черной и резкой, и не имеет отношения к так назы­ваемой полутени, слабой и размытой.

Расчет наш показывает, между прочим, что будь на месте вертолета небольшой шар-зонд, диаметром меньше 1,7 м, он не отбрасывал бы вовсе полной тени; видна была бы только его смутная полутень.

9. Задачу решают с конца. Будем исходить из того, что после всех перекладываний число спичек в кучках сделалось одинаковым. Так как от этих перекладываний общее число спичек не изменилось, осталось прежнее (48), то в каждой кучке к концу всех перекладываний оказалось 16 штук.

Итак, имеем в самом конце:

1-я кучка 16

2-я кучка 16

3-я кучка 16

Непосредственно перед этим в 1-ю кучку было при­бавлено столько спичек, сколько в ней имелось; иначе говоря, число спичек в ней было удвоено. Значит, до последнего перекладывания в 1-й кучке было не 16, а только 8 спичек. В кучке же 3-й, из которой 8 спичек было взято, имелось перед тем 16+8=24 спички.

Теперь у нас такое распределение спичек по кучкам:

1-я кучка 8

2-я кучка 16

3-я кучка 24

Далее: мы знаем, что перед этим из 2-й кучки было переложено в 3-ю столько спичек, сколько имелось в 3-й кучке. Значит 24 — это удвоенное число спичек, бывших в 3-й кучке до этого перекладывания. Отсюда уз­наем распределение спичек после первого перекладывания:

1-я кучка 8

2-я кучка 16+12=28

3-я кучка 12

Легко сообразить, что раньше первого перекладыва­ния (т. е. до того как из 1-й кучки переложено было во 2-ю столько спичек, сколько в этой 2-й имелось) — распре­деление спичек было таково:

1-я кучка 22

2-я кучка 14

3-я кучка 12

Таковы первоначальные числа спичек в кучках.

10. Эту головоломку также проще решить с конца. Мы знаем, что после третьего удвоения в кошельке оказалось 1 р. 20 к. (деньги эти получил старик в по­следний раз). Сколько же было до этого удвоения? Ко­нечно, 60 к. Остались эти 60 к. после уплаты старику вторых 1 р. 20к., а до уплаты было в кошельке 1 р. 20 к.+ +60 к.=1 р. 80 к.

Далее: 1 р. 80 к. оказались в кошельке после вто­рого удвоения; до того было всего 90 к., оставшихся после уплаты старику первых 1 р. 20 к. Отсюда узнаем, что до уплаты находилось в кошельке 90 к.+1 р. 20 к.= =2 р. 10 к. Столько денег имелось в кошельке после первого удвоения; раньше же было вдвое меньше — 1 р. 05 к. Это и есть те деньги, с которыми крестьянин приступил к своим неудачным финансовым операциям.

Проверим ответ.

Деньги в кошельке:

после 1-го удвоения . . .1р. 5 к. х2=2 р. 10 к.,
» 1-й уплаты . . . . 2 р. 10 к.—1 р. 20к.=90к.,
» 2-го удвоения . . . 90к.х2=1р. 80 к.,
» 2-й уплаты . . . . 1 р. 80 к.—1 р. 20к.=60к.,
» 3-го удвоения . . . 60к.х2=1р. 20к.,
» 3-й уплаты................... 1р. 20 к.—1р. 20к.=0.

11. Наш календарь ведет свое начало от календаря древних римлян. Римляне же (до Юлия Цезаря) считали началом года не 1 января, а 1 марта. Декабрь тогда был,

следовательно, десятый месяц. С перенесением на­чала года на 1 января, названия месяцев изменены не были. Отсюда и произошло то несоответствие между на-званием и порядковым номером, которое существует те­перь для ряда месяцев.

12. Проследим за тем, что проделано было с задуман­ным числом. Прежде всего к нему приписали взятое трех­значное число еще раз. Это то же самое, что приписать три нуля и прибавить затем первоначальное число; на­пример:

872 872= 872 000+872.

Теперь ясно, что собственно проделано было с числом: его увеличили в 1000 раз и, кроме того, прибавили его самого; короче сказать — умножили число на 1001.

Что же сделано было потом с этим произведением? Его разделили последовательно на 7, на 11 и на 13. В ко­нечном итоге, значит, разделили его на 7x11x13, т. е. на 1001.

Итак, задуманное число сначала умножили на 1001, потом разделили на 1001. Надо ли удивляться, что в ре­зультате получилось то же самое число?

*          *

*

Прежде чем закончить главу о головоломках в доме отдыха, расскажу еще о трех арифметических фокусах, которыми вы можете занять досуг ваших товарищей. Два состоят в отгадывании чисел, третий — в отгадывании владельцев вещей.

Это — старые, быть может даже и известные вам фо­кусы, но едва ли все знают, на чем они основаны. А без

знания теоретической основы фокуса нельзя сознательно и уверенно его выполнять. Обоснование первых двух фокусов потребует от нас весьма скромной и ничуть не утомительной экскурсии в область начальной ал­гебры.

13. Зачеркнутая цифра. Пусть товарищ ваш задумает какое-нибудь многозначное число, например, 847. Пред­ложите ему найти сумму цифр этого числа (8+4+7)=19 и отнять ее от задуманного числа. У загадчика окажется:

847—19=828.

В том числе, которое получится, пусть он зачеркнет одну цифру — безразлично какую, и сообщит вам все остальные. Вы немедленно называете ему зачеркнутую цифру, хотя не знаете задуманного числа и не видели, что с ним проделывалось.

Как можете вы это выполнить и в чем разгадка фо­куса?

Выполняется это очень просто: подыскивается такая цифра, которая вместе с суммою вам сообщенных цифр составила бы ближайшее число, делящееся на 9 без ос­татка. Если, например, в числе 828 была зачеркнута первая цифра (8) и вам сообщены цифры 2 и 8, то, сло­жив 2+8, вы соображаете, что до ближайшего числа, делящегося на 9, т. е. до 18 — не хватает 8. Это и есть зачеркнутая цифра.

Почему так получается? Потому что если от какого-либо числа отнять сумму его цифр, то должно остаться число, делящееся на 9,— иначе говоря, такое, сумма цифр которого делится на 9. В самом деле, пусть в заду­манном числе a — цифра сотен, b — цифра десятков и c — цифра единиц. Значит, всего в этом числе содержится единиц

100a+10b +c.

Отнимаем от этого числа сумму его цифр a+b+c. По­лучим

100a + 10b + c— (a + b + c)=99a + 9b = 9(11a + b).

Но 9(11a+b), конечно, делится на 9; значит, при вычи­тании из числа суммы его цифр всегда должно полу­читься число, делящееся на 9 без остатка.

При выполнении фокуса может случиться, что сумма сообщенных вам цифр сама делится на 9 (например, 4 и 5). Это показывает, что зачеркнутая цифра есть либо О, либо 9. Так вы и должны ответить: 0 или 9.

Вот видоизменение того же фокуса: вместо того чтобы из задуманного числа вычитать сумму его цифр, можно вычесть число, полученное из данного какой-либо пере­становкой его цифр. Например, из числа 8247 можно вычесть 2748 (если получается число, большее задуман­ного, то вычитают меньшее из большего). Дальше посту­пают, как раньше сказано: 8247— 2748 =5499; если за­черкнута цифра 4, то, зная цифры 5, 9, 9, вы сообра­жаете, что ближайшее к 5+9+9, т. е. 23, число, делящееся на 9, есть 27. Значит зачеркнутая цифра 27-23=4.

14. Отгадать число, ничего не спрашивая. Вы пред­лагаете товарищу задумать любое трехзначное число, не оканчивающееся нулем (но такое, чтобы разница между крайними цифрами была не меньше 2), и просите затем переставить цифры в обратном порядке. Сделав зто, он должен вычесть меньшее число из большего и получен­ную разность сложить с нею же, но написанною в обрат­ной последовательности цифр. Ничего не спрашивая у загадчика, вы сообщаете ему число, которое у него полу­чилось в конечном итоге.

Если, например, было задумано 467, то загадчик дол­жен выполнить следующие действия:

Этот окончательный результат — 1089 — вы и объяв­ляете загадчику. Как вы можете его узнать?

Рассмотрим задачу в общем виде. Возьмем число с цифрами а, Ь, с, причем а больше чем с по крайней мере на две единицы. Оно изобразится так:

100а+ 10b +с. Число с обратным расположением цифр имеет вид:

467 ; 764; _764 297 467 + 792 297 1089

Этот окончательный результат — 1089 — вы и объяв­ляете загадчику. Как вы можете его узнать?

Рассмотрим задачу в общем виде. Возьмем число с цифрами а, Ь, с, причем а больше чем с по крайней мере на две единицы. Оно изобразится так:

100a+ 10b +c.

100с+10b+а.

Число с обратным расположением цифр имеет вид: 100c+ 10b+a.

Разность между первым и вторым равна:

99а—99с.

Делаем следующие преобразования:

99а—99с=99(а—с)=100(а—с)—(а—с)=

=100(а—с)—100+100—10+10—а+с= =100(а-с-1)+90+(10-а+с).

Значит, разность состоит из следующих трех цифр:

цифра сотен: а — с — 1, » десятков: 9, » единиц: 10 + с — а.

Число с обратным расположением цифр изображается так:

100(10+с— а)+ 90 +(а — с— 1). Сложив оба выражения

100 (а-с-1) + 90 + 10 + с-а + 100(10 + с —а) + 90+ а—с—1,

получаем

100-9 + 180 + 9 = 1089.

Итак, независимо от выбора цифр а, b и с всегда полу­чается одно и то же число: 1089. Нетрудно поэтому от­гадать результат этих вычислений: вы знали его заранее.

Понятно, что показывать этот фокус одному лицу дважды нельзя — секрет будет раскрыт.

15. Кто что взял? Для выполнения этого остроумного фокуса необходимо приготовить три какие-нибудь мелкие вещицы, удобно помещающиеся в кармане, например — карандаш, ключ и перочинный ножик. Кроме того, по­ставьте на стол тарелку с 24 орехами; за неимением оре­хов годятся шашки, кости домино, спички и т. п.

Троим товарищам вы предлагаете во время вашего отсутствия спрятать в карман карандаш, ключ или но­жик, кто какую вещь хочет. Вы беретесь отгадать, в чьем кармане какая вещь.

Процедура отгадывания проводится так. Возвратив­шись в комнату после того, как вещи спрятаны по карма­нам товарищей, вы начинаете с того, что вручаете им на

сохранение орехи из тарелки. Первому даете один орех, второму — два, третьему — три. Затем снова удаляетесь из комнаты, оставив товарищам следующую инструкцию. Каждый должен взять себе из тарелки еще орехов, а именно: обладатель карандаша берет столько орехов, сколько ему было вручено; обладатель ключа берет вдвое больше того числа орехов, какое ему было вру­чено; обладатель ножа берет вчетверо больше того числа орехов, какое ему было вручено.

Прочие орехи остаются на тарелке.

Когда все это проделано и вам дан сигнал возвра­титься, вы, входя в комнату, бросаете взгляд на тарелку и объявляете, у кого в кармане какая вещь.

Фокус тем более озадачивает, что выполняется без участия тайного сообщника, подающего вам незаметные сигналы. В нем нет никакого обмана: он целиком основан на арифметическом расчете. Вы разыскиваете обладателя каждой вещи единственно лишь по числу оставшихся оре-хов. Остается их на тарелке немного — от 1 до 7, и счесть их можно одним взглядом. Как же, однако, узнать по остатку орехов, кто взял какую вещь?

Очень просто: каждому случаю распределения вещей между товарищами отвечает иное число остающихся оре-хов. Мы сейчас в этом убедимся.

Других случаев, очевидно, быть не может; наша таб­личка систематически исчерпывает все комбинации.

Пусть имена ваших товарищей, получивших один, два, три ореха, соответственно Владимир, Георгий, Кон­стантин; обозначим их начальными буквами: В, Г, К. Вещи также обозначим буквами: карандаш — а, ключ — b, нож — с. Как могут три вещи распределиться между тремя обладателями? Шестью способами.

Посмотрим теперь, какие остатки отвечают каждому из этих 6 случаев:

Вы видите, что остаток орехов во всех случаях разли­чен. Поэтому, зная остаток, вы легко устанавливаете, каково распределение вещей между вашими товарищами. Вы снова — в третий раз — удаляетесь из комнаты и заглядываете там в свою записную книжку, где записана сейчас воспроизведенная табличка (собственно нужны вам только первая и последняя графы); запомнить ее наизусть трудно, да и нет надобности. Табличка скажет вам, в чьем кармане какая вещь. Если, например, на тарелке осталось 5 орехов, то это означает (случай b, с, а) что

ключ — у Владимира, нож — у Георгия, карандаш—у Константина.

Чтобы фокус удался, вы должны твердо помнить, сколько орехов вы дали каждому товарищу (раздавайте орехи поэтому всегда по алфавиту, как и было сделано в нашем случае).